383. Орлов А.И. Об оценивании параметров гамма-распределения. - Журнал «Обозрение прикладной и промышленной математики». 1997. Т.4. Вып.3. С.471-482.

ОРЛОВ  А.И.
ОБ  ОЦЕНИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ
 ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 

	Впервые оцениванием параметров гамма-распределения автору пришлось заниматься при подготовке государственного стандарта [1] по этой тематике. Практическая направленность этой работы потребовала иной расстановки акцентов по сравнению с типичными научными исследованиями или преподаванием в области математической статистики. В настоящей статье описываются мысли, решения и действия математика-профессионала при выполнении заказа прикладника-инженера. 
О развитии математических дисциплин
	Как правило, математические дисциплины проходят в своем развитии ряд этапов. Вначале в какой-либо прикладной области возникает необходимость в применении математических методов и накапливаются соответствующие эмпирические приемы (для геометрии это - "измерение земли" в Древнем Египте). Затем возникает математическая дисциплина со своей аксиоматикой (для геометрии это - время Евклида). Затем идет внутриматематическое развитие и преподавание (большинство результатов элементарной геометрии получено учителями гимназий в XIX в.). При этом на запросы исходной прикладной области перестают обращать внимание, и та порождает новые научные дисциплины (сейчас "измерением земли" занимается не геометрия, а геодезия и картография). Затем научный интерес иссякает, но преподавание по традиции продолжается (элементарная геометрия до сих пор изучается в средней школе, хотя трудно понять, в каких практических задачах может понадобиться, например, теорема о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке). Следующий этап - окончательное вытеснение дисциплины из реальной жизни в историю науки (объем преподавания элементарной геометрии в настоящее время постепенно сокращается, ей все меньше уделяется внимания на вступительных экзаменах в вузах). К интеллектуальным дисциплинам, закончившим свой жизненный путь, относится средневековая схоластика. Как отмечает В.Н.Тутубалин [2], теория вероятностей и математическая статистика успешно двигаются по ее пути - вслед за элементарной геометрией.
	Хотя статистические данные собираются и анализируются с незапамятных времекн (см., например, Книгу Чисел в Ветхом Завете), современная математическая статистика как наука была создана, по нашему мнению, в первой половине ХХ в. Именно тогда были разработаны основные идеи и получены результаты, излагаемые ныне в учебных курсах математической статистики. После чего специалисты по математической статистике занялись внутриматематическими проблемами, а для теоретического обслуживания проблем практического анализа статистических данных стала формироваться новая дисциплина - прикладная статистика [3]. (Ее центральным печатным органом в нашей стране является секция "Математические методы исследования" журнала "Заводская лаборатория", где за последние 30 лет опубликовано более 1000 статей по прикладной статистике.) 
	В настоящее время статистическая обработка данных проводится с помощью соответствующих программных продуктов. Разрыв между математической и прикладной статистикой проявляется, в частности,  в том, что большинство методов, включенных в статистические пакеты программ (например, в заслуженный Statgraphics или в более новую систему Statistica), даже не упоминается в учебниках по математической статистике. В результате специалист по математической статистике оказывается зачастую беспомощным при обработке реальных данных, а пакеты программ применяют (что еще хуже - и разрабатывают) лица, не имеющие необходимой теоретической подготовки (кратко - профаны). Естественно, что профаны допускают разнообразные ошибки (анализ типовых ошибок при применении критериев согласия Колмогорова и омега-квадрат дан в [4]), в том числе в таких ответственных документах, как государственные стандарты по статистическим методам (удручающие результаты анализа этих стандартов суммированы в [5,6]).
	Поэтому представляется полезным на примере разработки стандарта [1] обсудить некоторые проблемы, возникающие на стыке математической и прикладной статистики.
Параметризация семейства гамма-распределений
	Простейший вид гамма-распределения - это распределение с плотностью
	.  (1)
где   - параметр сдвига,  - гамма-функция, т.е.
	    			(2)
	Каждое распределение можно "развернуть" в масштабно-сдвиговое семейство. Действительно, для случайной величины , имеющей функцию распределения , рассмотрим семейство случайных величин , где  - параметр масштаба, а - параметр сдвига. Тогда функция распределения  есть  . 
	Включая каждое распределение с плотностью вида (1) в масштабно-сдвиговое семейство, получаем принятую в [1] параметризацию семейства гамма-распределений:

Здесь  - параметр формы,  - параметр масштаба,  - параметр сдвига, гамма-функция  задается формулой (2).
	В литературе имеются и иные параметризации. Так, вместо параметра  часто используют параметр . Иногда рассматривают двухпараметрическое семейство, опуская параметр сдвига, но сохраняя параметр масштаба или его аналог - параметр . Для некоторых прикладных задач (например, при изучении надежности технических устройств) это оправдано, поскольку из содержательных соображений представляется естественным принять, что плотность распределения вероятностей положительна для положительных значений аргумента и только для них. С этим предположением связана многолетняя дискуссия в 80-х годах о "назначаемых показателях надежности", на которой не будем останавливаться.
	Частные случаи гамма-распределения при определенных значениях параметров имеют специальные названия. При  имеем экспоненциальное распределение. При натуральном  и  гамма-распределение - это распределение Эрланга, используемое, в частности, в теории массового обслуживания. Если случайная величина  имеет гамма-распределение с параметром формы  таким, что  - целое число,  и  , то  имеет распределение хи-квадрат  с  степенями свободы. 
Области применения гамма-распределения
	Гамма-распределение имеет широкие приложения в различных областях технических наук (в частности, в надежности и теории испытаний), в метеорологии, медицине, экономике [7-11]. В частности, гамма-распределению могут быть подчинены общий срок службы изделия, длина цепочки токопроводящих пылинок, время достижения изделием предельного состояния при коррозии, время наработки до k-го отказа и т.д. [7,8]. Продолжительность жизни больных хроническими заболеваниями, время достижения определенного эффекта при лечении в ряде случаев имеют гамма-распределение. Это распределение оказалось наиболее адекватным для описания спроса в ряде экономико-математических моделей управления запасами [9]. 
	Возможность применения гамма-распределения в ряде прикладных задач иногда может быть обоснована свойством вопроизводимости: сумма  независимых экспоненциально распределенных случайных величин с одним и тем же параметром  имеет гамма-распределение с параметрами формы , масштаба  и сдвига . Поэтому гамма-распределение часто используют в тех прикладных областях, в которых применяют экспоненциальное распределение. 
	Различным вопросам статистической теории, связанным с гамма-распределением, посвящены сотни публикаций (см. сводки [8,10,11]). В данной статье, не претендующей на всеохватность, рассматриваются лишь некоторые математико-статистические задачи, связанные с разработкой государственного стандарта [1]. 
Одношаговые оценки вместо оценок максимального правдоподобия
	Прикладникам бывают нужны различные характеристики распределения результатов наблюдений - среднее значение (математическое ожидание), квантили,  среднее квадратическое отклонение, межквартильный интервал и т.д. Целое научное направление посвящено обоснованию выбора тех или иных характеристик надежности для нормирования [12]. Однако все эти характеристики выражаются через параметры, поэтому их оценки могут быть получены, в частности, с помощью оценок параметров. 
	В общем случае гамма-распределение задается тремя параметрами. Однако некоторые из них могут заранее известны. Поэтому в [1] рассмотрено 7 постановок, в которых 0, 1 или 2 параметра (из 3-х) предполагаются известными. 
	Каким методом оценивать параметры? Учебники по математической статистике обычно рекомендуют использовать асимптотически оптимальные (т.е. асимптотически эффективные) оценки метода максимального правдоподобия (ОМП). 
	Известно, что при конечном объеме выборки в ряде конкретных постановок ОМП хуже оценок других видов. Так, Я.П.Лумельский и его ученики В.В.Чичагов и М.Г.Шеховцева показали, что при оценивании параметра отрицательного биномиального распределения ОМП хуже несмещенной оценки [13,14] (см. также основную на русском языке монографию по несмещенным оценкам [15[). Однако при разработке [1] мы не располагали подобного рода сведениями о гамма-распределении.  
	Рассмотрим для определенности наиболее сложный случай, когда все три параметра неизвестны. Нетрудно выписать систему уравнений максимального правдоподобия. Явного решения этой системы не существует.
	Что делать дальше? Предложить прикладнику самостоятельно решать систему уравнений максимального правдоподобия - значит переложить на него свою работу, заставить заниматься численными методами, не входящими в круг его постоянных производственных обязанностей. Если так поступить, то прикладник в лучшем случае просто  проигнорирует разрабатываемый стандарт, в худшем - со ссылкой на [1] будут представлены численные значения, имеющие мало общего с теми, что соответствуют статистической теории.
	Значит, надо дать алгоритм решения системы уравнений максимального правдоподобия. Естественные для решения этой задачи алгоритмы являются итерационными. Нужно предложить решения двух классических задач вычислительной математики: когда остановить вычисления и с какой точностью их проводить. Нам не были известны решения этих задач в случае нахождения ОМП для гамма-распределения. Однако было известно, что во многих подобных случаях используются эмпирические правила, не являющиеся научно обоснованными, строгие же подходы применимы лишь в отдельных случаях, в которых к тому же являются весьма трудоемкими.
	 Естественно спросить: а почему мы так хотим найти ОМП? Из теории  известно, что для ОМП выполнены два важных свойства: 
	а) асимптотическая дисперсия ОМП минимальна среди всех возможных оценок (точная формулировка несколько сложнее - см., например, [16]); 
	б) функция от ОМП параметров является ОМП для функции от параметров (т.е. хорошие свойства ОМП являются наследственными, нет необходимости специально строить оценки для характеристик распределения - математического ожидания, квантилей и т.д.). 
	Однако не только ОМП имеют свойства а) и б). Они верны и для всех оценок, мало (на , где  - объем выборки) отличающихся от ОМП. Это очевидное соображение позволяет существенно расширить множество рассматриваемых оценок. В него попадают, в частности, т.н. одношаговые оценки (ОШО). Они представляют собой результат первой итерации при решении системы уравнений максимального правдоподобия по методу Ньютона-Рафсона. Первая итерация осуществляется, исходя из достаточно быстро сходящихся оценок, например, оценок метода моментов. 
	Одношаговые оценки обладают свойствами а) и б) и, кроме того, задаются явными (конечными) формулами (для гамма-распределения они приведены в [1,17]). Тем самым снимается проблема решения системы уравнений максимального правдоподобия и изучения соответствующего итерационного процесса. Условия регулярности, при которых справедливы указанные свойства ОШО, совпадают с условиями, при которых обычно изучаются ОМП [18].
 	Поэтому мы полагаем, что ОМП целесообразно использовать лишь тогда, когда ОМП удается выразить явными формулами. Если же это не удается, то решать каким-либо итерационным методом систему уравнений, задающую ОМП, нецелесообразно. Следует применять ОШО (или иные асимптотически оптимальные оценки). 
	Целесообразность использования ОШО отмечал еще сам Р.Фишер [19], изобретатель ОМП, а вслед за ним - многие авторы, в том числе Л.Ле Кам, С.Р.Рао, К.О.Джапаридзе, А.Г.Кушнир (см. историю вопроса в [18], [20, гл.5.2], а также [21], [22, пп.2.26, 2.28]). Почему же про ОМП "все знают", а про ОШО - мало кто? Это определяется тем, что в учебниках по математической статистике рассказывается про ОМП, но ничего не говорится об ОШО. 
	С точки зрения преподавания ОМП действительно обладают преимуществами по сравнению с ОШО, построенными на их основе. К сожалению, преподаватели "забывают" сказать, что в реальной работе ОМП нецелесообразно использовать, за исключением тех случаев, когда ОМП выражаются явными формулами. В результате прикладники снова и снова пытаются решать системы ОМП, вместо того, чтобы применить метод ОШО (или какой-либо иной, например, метод несмещенных оценок [13-15, 23]).
	Из сказанного вытекает рекомендация, выходящая за рамки тематики настоящей статьи: включить в стандартные курсы и учебники математической статистики информацию об ОШО и предупреждение о нецелесообразности применения итерационных методов решения системы уравнений, задающих ОМП.
Метод моментов оценивания параметров и проверки гипотез
	Термин "метод моментов" применяют как общее название приемов, основанных на использовании функций от выборочных моментов. Его применяют как для оценивания параметров, так и для проверки гипотез (например, нормальность распределения можно проверять с помощью таких функций от выборочных моментов, как выборочные асимметрия и эксцесс).
	Оценки параметров методом моментов (ОММ) представляют интерес как сами по себе, так и как начальные значения при вычислении ОШО. Известно [24], что для гамма-распределения асимптотические дисперсии оценок метода моментов больше, чем для ОМП (а потому и для ОШО). Однако ОММ обладают преимуществом простоты расчета, а при учете интервальности исходных данных оказываются лучше ОМП и ОШО в широком диапазоне значений параметров (см. ниже).
	Метод моментов оказался полезен для проверки согласия эмпирических данных с семейством гамма-распределений [25]. Он основан на том, что для =-параметрического семейства распределений  моментов связаны некоторым соотношением, а именно, некоторая функция от моментов равна 0. Статистика критерия согласия получается путем подстановки в эту функцию выборочных моментов вместо теоретических, а критические значения находятся исходя из асимптотической нормальности статистики критерия. Критерий метода моментов является, очевидно, несостоятельным, однако предельные распределения состоятельных критериев типа Колмогорова или типа омега-квадрат для проверки согласия с гамма-распределением нам неизвестны. По сравнению с также несостоятельным критерием хи-квадрат критерий метода моментов обладает тем преимуществом, что допускает непосредственное использование выборочных моментов и не требует предварительного нахождения оценок параметров из условия минимизации хи-квадрат (о различных ошибках при использовании критерия хи-квадрат см. [26]).
	Основное используемое в [1] утверждение о функциях от выборочных моментов - их асимптотическая нормальность. При этом необходимо уметь вычислять асимптотическую дисперсию. Как правило, она, как и асимптотическое смещение, имеет порядок  , где  - объем выборки. Это значит, что асимптотическое смещение - бесконечно малая величина по сравнению с асимптотическим средним квадратическим отклонением, а потому при больших  - им можно пренебречь.
	В распространенных учебниках, как ни странно, нет технологии расчета асимптотических распределений функций от выборочных моментов, а потому и алгоритмов нахождения доверительных интервалов для параметров. Эта технология состоит из следующих двух этапов.
	1. Устанавливается асимптотическая нормальность вектора, координаты которого - начальные моменты. При этом используется многомерная центральная предельная теорема (отсутствующая во многих курсах теории вероятностей) и ковариационная матрица выборочных моментов (см., например, [27, с.387]).
	2. С помощью метода линеализации (приближения дважды дифференцируемой функции в окрестности точки с помощью главного линейного члена) устанавливается предельное распределение функции от асимптотически нормального вектора, введенного на этапе1.
	В конкретных постановках реализация этих двух этапов может оказаться достаточно трудоемкой. Она  может составить (и составляла) предмет дипломных и курсовых работ. 
	Во многих областях статистики применяются суммы некоторых функций от элементов независимой выборки, в частности, в регрессионном и дискриминантном анализе. В настоящее время они изучаются обычно в предположении нормальности результатов наблюдений. Однако реальные распределения обычно не являются нормальными [28]. Этот факт давно известен специалистам (сопоставьте [28] с более ранними данными в [29]), однако упорно игнорируется авторами учебников. Описанная выше технология позволяет избавиться от предположения нормальности и получить асимптотические распределения лишь в предположении существования необходимого числа моментов, как это сделано в [30] для выборочного коэффициента вариации. Отметим, что при таких иссследованиях оказываются полезными асимптотические формулы для моментов функций от выборочных моментов, имеющиеся в классических учебниках [27, 31], но отсутствующие в современных. 
	В [1] асимптотические формулы рекомендуется применять при конечных объемах выборок. В частности, при расчетах доверительных интервалов используются асимптотические дисперсии ОШО(ОМП) и ОММ, в которых истинные значения параметров заменены на их точечные оценки. Конечно, подобные рекомендации требуют обоснования, т.е. дальнейших исследований, которые не были проведены при разработке ГОСТ 11.011-83 из-за недостатка времени и финансирования и не проведены до сих пор из-за отсутствия стимула. Доведение общих теоретических соображений до предназначенных для практического использования обоснованных алгоритмов требует трудоемких исследований, не представляющих самостоятельного интереса для теоретиков. С другой стороны, заказчики научно-исследовательских работ часто также не понимают необходимости подобных исследований. В результате имеем массу ошибочных рекомендаций, в том числе на уровне учебников и стандартов [4-6]. Отметим, что хотя в соответствии с технологией подготовки государственных стандартов проект [1] был разослан на отзыв более чем в 100 организаций, ни одна из них не стала настаивать на проведении указанных исследований. 
	Не менее необходимым является изучение устойчивости (робастности) используемых в [1] оценок параметров к малым отклонениям исходных данных и предпосылок модели. Особенно это представляется актуальным в связи с использованием в оценках выборочных моментов высоких порядков. Однако популярная среди теоретиков [32, 33] модель засорения (Тьюки-Хьюбера) представляется не вполне адекватной. Эта модель нацелена на изучение влияния больших "выбросов". Поскольку любые реальные измерения лежат в некотором фиксированном диапазоне, например, зафиксированном в техническом паспорте средства измерения, то зачастую выбросы не могут быть слишком большими.. Поэтому представляются полезными иные, более общие схемы устойчивости [34], в которых, например, учитываются отклонения распределений результатов наблюдений от предположений модели.
Влияние интервальности исходных данных
	В одной из таких схем изучается влияние интервальности исходных данных на статистические выводы. Необходимость такого изучения выявилась следующим образом. В государственных стандартах по прикладной статистике в обязательном порядке давалось справочное приложение "Примеры применения правил стандарта". Для анализа инженерами были представлены реальных данных о наработке резцов до предельного состояния (в часах). Для математика неожиданным  оказалось то, что все эти данные представляли собой либо целые числа, либо полуцелые (после умножения на 2 становящиеся целыми, другими словами, дробная часть которых равна 0,5). Ясно, что исходная длительность наработок искажена. Необходимо учесть в статистических процедурах наличие такого искажения исходных данных. Как это сделать?
	Первое, что приходит в голову - модель группировки данных, согласно которой для истинного значения Х проводится замена на ближайшее число из множества {0,5n, n=1,2,3,...}. Однако эту модель целесообразно подвергнуть сомнению, а также рассмотреть иные модели. Так, возможно, что Х надо приводить к ближайшему сверху элементу указанного множества - если проверка качества поставленных на испытание резцов проводилась раз в полчаса. Другой вариант: если расстояния от Х до двух ближайших элементов множества {0,5n, n=1,2,3,...} примерно равны, то естественно ввести рандомизацию при выборе заменяющего числа, и т.д.  
	Мы выбрали модель, согласно которой результаты наблюдений - не числа, а интервалы. Например, если в таблице приведено значение 53,5, то это значит, что реальное значение - какое-то число от 53,0 до 54,0, т.е. какое-то число в интервале [53,5 - 0,5; 53,5 + 0,5], где 0,5 - максимально возможная погрешность. 
	Принимая эту модель, мы попадаем в новую научную область - статистику интервальных данных [35,36], являющуюся частью интервальной математики [37]. В этой области получено много научных результатов, отраженных, например, в трудах международной конференции ИНТЕРВАЛ-92 [38]. 
	Многие из утверждений статистики интервальных данных весьма отличаются от аналогов из классической математической статистики. В частности, не существует состоятельных оценок; средний квадрат ошибки оценки, как правило, асимптотически равен сумме дисперсии оценки, рассчитанной согласно классической теории, и некоторого положительного числа (равного квадрату т.н. нотны -  максимально возможного отклонения значения статистики из-за погрешностей исходных данных) - в результате метод моментов оказывается иногда точнее метода максимального правдоподобия [39]; нецелесообразно увеличивать объем выборки сверх некоторого предела (называемого рациональным объемом выборки). Нами разработаны методы расчета нотны, рационального объема выборки, доверительных интервалов с учетом нотны и других характеристик для многих статистических задач оценивания характеристик и параметров, проверки гипотез, регрессионного, дискриминантного и кластерного анализов [40-44].
	В [1] был включен раздел 5, посвященный выбору метода оценивания при неизвестных параметрах формы и масштаба и известном параметре сдвига и основанный на концепциях статистики интервальных данных. В нем в зависимости от параметра формы (точнее, ее оценки по методу моментов) рекомендуется использовать либо ОМП, либо ОММ. Теоретическое обоснование раздела 5 опубликовано в [40].
	В 1982 г. при разработке стандарта [1] были сформулированы основные идеи статистики интервальных данных, однако из-за недостатка времени они не были полностью реализованы в ГОСТ 11.011-83, и этот стандарт написан в основном в классической манере. Развитие этих идей продолжается уже в течение 15 лет (см., в част ности, [35, 36, 38-44]), и еще много чего надо сделать!
	 Следует отметить, что предыдущие разделы настоящей статьи касались практической реализации классических подходов математической статистики, в то время как статистика интервальных данных - одна из новых быстро развивающихся областей. Соединение в одном нормативно-техническом документе классики и новаторства несколько противоречиво, что, впрочем, соответствует противоречивости  современной статистической науки (этот сюжет мы обсуждали в статьях [45,46]). 
Табличное и программное обеспечение 
в нормативно-технической документации
	Теоретику или преподавателю достаточно сформулировать и доказать теоремы о свойствах тех или иных оценок, в то время как разработчику нормативно-технической документации необходимо обеспечить прикладника всем необходимым для вычисления оценок параметров по реальным данным. Поэтому в [1] включено 7 таблиц специальных функций, 3 из которых взяты из литературы, а 4 рассчитаны при подготовке стандарта. При этом применены некоторые нестандартные приемы, например, изменение шага таблицы в зависимости от величины аргумента. Для построения удобных в работе достаточно компактных таблиц пришлось провести специальные исследования по оценке точности тех или иных приближенных формул, выведенных в достаточно большом  количестве при подготовке ГОСТ 11.011-83. 	Построение подобных формул в настоящее время, к сожалению,  уже практически не рассматривается как научная задача, достойная публикации в серьезном издании; обычно интересуются лишь асимптотическими формулами, не доводя их до конкретных чисел. Причины этого понятны каждому, кто проводил подобные трудоемкие работы, дающие весьма частные результаты (наш опыт построения точных оценок для остаточного члена второго порядка в асипптотическом разложении для функции распределения статистики Смирнова описан в статье [47]). 
	Обсуждался вопрос о включении описания программного обеспечения в нормативно-техническую документацию. Анализ трудозатрат, проведенный в [18], показывает, что при единичном расчете быстрее реализовать алгоритмы [1] на калькуляторе, чем самостоятельно разрабатывать программное обеспечение. Однако очевидно, что для многократных расчетов по алгоритмам [1] целесообразна разработка такого обеспечения (в широко распространенных пакетах его нет). Поэтому предлагалось помещать в государственные стандарты тексты программ на Фортране и связанную с ними информацию.
	Время внесло некоторую ясность. Статус алгоритмов [1] в научном плане за 15 лет мало изменился, равно как не произошло кардинальных сдвигов и в других рассмотренных выше вопросах. Однако за те же 15 лет сменилось несколько поколений вычислительной техники, языков программирования и другого программного обеспечения. При этом остались проблемы совместимости компьютеров различных систем (на 1997 год - платформ IBM PC и Macintosh) и программного обеспечения. Так что тогдашнее решение не включать описания программного обеспечения в государственные стандарты было, на наш взгляд, правильным. 
	Наша концепция развития нормативно-технической документации в области статистических методов, а также анализ накопленного опыта приведены в [5,6]. Ясно, что широкое внедрение статистических методов возможно лишь в условиях устойчивого роста промышленности, когда повышение качества продукции становится важным для руководителей предприятий. Для успешного внедрения необходима развернутая система программных продуктов [48], а прежде всего - знакомство менеджеров, инженеров и экономистов с прикладными возможностями статистических методов. Итак, мы упираемся в систему обучения и повышения квалификации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ГОСТ 11.011-83. Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров гамма-распределения. М.: Изд-во стандартов, 1984, 53 с. 
2. Тутубалин В.Н. Границы применимости (вероятностно-статистические методы и их возможности). М.: Знание, 1977, 64 с.
3. Орлов А.И. О развитии прикладной статистики. -  В сб.: Современные проблемы кибернетики (прикладная статистика). М.: Знание, 1981, с.3-14.
4. Орлов А.И. Распространенная ошибка при использовании критериев Колмогорова и омега-квадрат. - Заводская лаборатория, 1985, т.51, №1, с.60-62.
5. Орлов А.И. О современных проблемах внедрения прикладной статистики и других статистических методов. - Заводская лаборатория, 1992, т.58, №1, с.67-74.
6. Орлов А.И. Сертификация и статистические методы. - Заводская лаборатория, 1997, т.63, № 3, с.153-160.
7. Шор Я.Б. Статистические методы анализа и контроля качества и надежности. М.: Советское радио, 1962, 552 с.
8. Johnson N.L., Kotz S. Distributions in statistics. Continuous univariate distributions. V.1. New York-Chichester-Beisbane-Noronto, John Wiley and Sons, 1976.
9. Burgin T.A. The gamma distribution and inventory control. - Operational Research Quarterly, 1975, v.26, No.3, p.507-525.
10. Communications of statistics, ser.B, 1982, v.11, No.4, p.377-519.  
11. Bowman K.O., Shenton L.R. Properties of Estimators for the Gamma Distribution. New York and Basel: Marcel Dekker, Inc., 1988.
12. Фомин В.Н. Нормирование показателей надежности. М.: Изд-во стандартов, 1986, 212 с.
13. Лумельский Я.П., Шеховцева М.Г. К вопросу о сравнении несмещенных оценок и оценок максимального правдоподобия. Ученые записки Пермского ун-та, 1973, №271.
14. Чичагов В.В., Шеховцева М.Г. Две задачи по сравнению точечных оценок. - В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1978, с.160-169.
15. Воинов В.Г., Никулин М.С. Несмещенные оценки и их применения. М.: Наука, 1989, 440 с.
16. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979, 528 с.
17. Миронова Н.Г., Орлов А.И. Одношаговые оценки для параметров гамма-распределения. - Надежность и контроль качества, 1988, № 12, с.3-9.
18. Орлов А.И. О нецелесообразности использования итеративных процедур нахождения оценок максимального правдоподобия. - Заводская лаборатория, 1986, т.52, №5, с.67-69.
19. Fischer R.A. Theory of statistical estimation. - Proc. Camb. Phil. Soc., 1925, v.22, p.700-719. 
20. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975, 776 с.
21. Беляев Ю.К., Чепурин Е.В. Основы математической статистики. Ч. II и III. М.: МГУ, 1983, 256 с.
22. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984, 472 с.  
23. Лумельский Я.П. К вопросу сравнения несмещенных и других оценок. - В сб.: Прикладная статистика. М.: Наука, 1983, с.316-319.
24. Кендалл  М.Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973, 900 с. 
25. Орлов А.И. Метод моментов проверки согласия с параметрическим семейством распределений. - Заводская лаборатория, 1989, т.55, № 10, с.90-93.
26. Мирвалиев М., Никулин М.С. Критерии согласия типа хи-квадрат. - Заводская лаборатория, 1992, т.58, № 3, с.52-58.
27. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968, 548 с.
28. Орлов А.И. Часто ли распределение результатов наблюдений является нормальным? - Заводская лаборатория, 1991, т.57, № 7, с.64-66.  
29. Налимов В.В. Применение математической статистики при анализе вещества. М.: Физматгиз, 1960, 430 с.
30. Друянова Г.Б., Орлов А.И. Непараметрическое оценивание коэффициентов вариации технических характеристик и показателей качества. - Надежность и контроль качества, 1987, № 7, с.10-16.
31. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975, 648 с.
32. Хьюбер П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984, 304 с.
33. Смоляк С.А., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания. М.: Статистика, 1980, 208 с. 
34. Орлов А.И.Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука,1979. 296 с. 
35. Orlov A.I. Interval statistics. - Interval Computations, 1992, No.1(3), р.44-52. 
36. Орлов А.И. Основные идеи интервальной математической статистики. - Наука и технология в России. 1994. No.4(6). С.8-9.
37. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981, 112 с.  
38. Сборник трудов Международной конференции по интервальным и стохастическим методам в науке и технике(ИНТЕРВАЛ-92). Тт. 1,2. М.: МЭИ, 1992, 216 с., 152 с.
39. Орлов А.И. Интервальная статистика: метод максимального правдоподобия и метод моментов. - В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. - Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1995, с.71-82.
40. Орлов А.И. О влиянии погрешностей наблюдений на свойства статистических процедур (на примере гамма-распределения). - В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1988, с.45-55.
41. Орлов А.И. О развитии реалистической статистики. - В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1990, с..89-99.
42. Орлов А.И. Некоторые алгоритмы реалистической статистики. - В сб.:Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1991, с.77-86.
43. Орлов А.И. Интервальный статистический анализ. - В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Пермский государственный университет, 1993, с.149-158.
44. Дискуссия по анализу интервальных данных. - Заводская лаборатория. 1990. Т.56. No.7, с.75-95.
45. Орлов А.И. Пути развития статистических методов: непараметрика, робастность, бутстреп и реалистическая статистика. - Надежность и контроль качества, 1991, № 8, с.3-8.
46. Орлов А.И. О перестройке статистической науки и её применений. - Вестник статистики, 1990, No.1, с.65 - 71.
47. Орлов А.И., Орловский И.В. Оценка остаточного члена порядка n-2 для функции распределения двухвыборочной статистики Смирнова. - В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Пермский государственный университет, 1978, с.100-109.
48. Орлов А.И. Внедрение современных статистических методов с помощью персональных компьютеров. - В сб.: Качество и надежность изделий. М.: Знание, 1992,  № 5(21), с. 51-78.